내적의 응용

저번글에서는 내적의 계산방법과 의미를 알아보았다.

이번에는 내적을 어디에 응용해서 사용하는지 알아보자.

 

내적은 벡터 간의 관계를 이해하고, 벡터의 크기와 방향을 비교하거나, 이를 바탕으로 여러 계산을 수행하는 데 중요한 역할을 합니다. 내적을 구하는 이유와 사용처는 다양하며, 수학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스, 기계 학습 등 여러 분야에서 광범위하게 사용됩니다.

 

1. 벡터 간의 유사도 측정

• 코사인 유사도(Cosine Similartity) :
  • 내적은 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 데 사용됩니다. 이 말은 두 벡터 사이의 각도가 작을수록 두 벡터는 더 유사한 방향을 가지며, 이를 통해 벡터 간의 유사도를 측정할 수 있습니다.
  • 예를 들어, 텍스트 데이터의 표현으로 벡터를 사용하여 문서 간의 유사성을 비교할 때 내적을 활용하여 코사인 유사도를 계산합니다.
  • 코사인 유사도는 두 벡터의 내적을 각 벡터의 크기로 나눈 값입니다.
  • 이 값이 1에 가까울수록 두 벡터의 방향이 유사하다는 의미입니다.

 

2. 벡터 정사영 및 물리학적 계산

• 벡터 정사영(Vector Projection)
  • 벡터 A를 벡터 B 위에 정사영(Projection) 했을 때, 그 길이를 계산하기 위해 내적을 사용합니다.
  • 내적을 통해 벡터 A가 벡터 B의 방향으로 얼마나 영향을 주는지, 즉 얼마나 투영되는지를 알 수 있습니다.

벡터 A가 B의 방향으로 얼마나 투영되는지.

• 일(work) 계산
  • 물리학에서는 힘 벡터와 이동 벡터 간의 내적을 통해 일을 계산합니다.
  • 만약 힘 벡터 F와 이동 벡터 d가 주어졌을 때, 이 힘이 물체를 이동시키면서 한 일은 아래식과 같이 계산됩니다.
  • 이 계산은 힘이 이동 방향과 얼마나 일치하는지를 나타내며, 힘과 이동 벡터가 같은 방향일 때 최대의 일이 발생합니다.

힘을주는 방향과 이동방향이 같아야 더 잘나가는 이치

3. 컴퓨터 그래픽스 및 게임 개발 ★★★

• 광원 계산(Lighting Calculation) :
  • 내적은 컴퓨터 그래픽스에서 물체의 표면이 빛을 받을 때, 표면의 밝기나 색상을 계산하는 데 사용 됩니다.
  • 예를 들어, 광원이 물체의 표면에 얼마나 직접적으로 닿는지를 계산할 때, 표면의 법선 벡터와 빛의 방향 벡터 간의 내적을 사용합니다. 이 내적은 표면이 빛을 받는 각도에 따라 표면이 얼마나 밝게 보이는지를 결정합니다.
  • 내적 값이 크면 빛이 표면에 직접적으로 닿고 있어 밝게 보이고, 내적 값이 작으면 빛이 표면에 간접적으로 닿아 어둡게 보입니다.

 

이밖에도 기계학습 및 데이터 분석 - 선형모델의 예측,   PCA(주성분 분석), 신호 유사도 측정 등에도 사용될 수 있습니다.

 

 

4. 요약

• 내적은 벡터 간의 유사도를 측정하고, 벡터가 특정 방향으로 얼마나 잘 정렬되어 있는지 확인하며, 물리적 계산이나 컴퓨터 그래픽스, 기계 학습 등 다양한 응용 분야에서 필수적으로 사용됩니다.
• 사용처는 기하학적 의미(벡터 간의 각도), 물리적 의미(일 계산), 그래픽스(광원 계산), 데이터 분석 및 기계학습(모델 예측 및 차원 축소) 등 매우 다양합니다.